Simetría en química (II): grupos puntuales de simetría

En términos matemáticos, un grupo es un conjunto de elementos A con una operación abstracta {\ast}  (no tiene porqué ser la operación multiplicación) que cumplen las siguientes propiedades:

  • Clausura: el resultado de operar dos elementos cualesquiera del grupo tiene que dar como resultado otro elemento del grupo, es decir el grupo es “cerrado”
  • Asociativa: (a{\ast}b){\ast}c=a{\ast}(b{\ast}c); {\forall}a,b,c{\in}A
  • Existe un elemento neutro, e, tal que e{\ast}a=a{\ast}e=a; {\forall}a{\in}A
  • {\forall}a{\in}A  existe un simétrico, a’, tal que a{\ast}a'=a'{\ast}a=e

El elemento neutro es único, al igual que el simétrico. Si además de las propiedades mencionadas se cumple la siguiente,

  • Conmutativa: a{\ast}b=b{\ast}a; {\forall}a,b{\in}A

Entonces hablamos de un grupo conmutativo o abeliano. Ejemplos matemáticos de grupo abeliano serían el conjunto de los números enteros con la operación suma, es decir (Z,+), así como el conjunto de los números racionales con la suma, (Q,+).

Pero la teoría de grupos tiene aplicaciones más allá de las matemáticas. En nuestro contexto químico, los elementos del grupo son las operaciones de simetría asociadas a una molécula dada (es decir, el conjunto de operadores de simetría bajo aplicación de los cuales la molécula permanece inalterada), y forman un grupo que llamamos “grupo de simetría puntual”, que en general no es abeliano (obsérvese, por ejemplo, que aplicar un σh y un C3, en este orden, a una molécula, no tiene porqué dar el mismo resultado que aplicarlos en orden inverso).

Definidos los elementos del grupo, deberíamos definir la operación. Se trata del “producto” de operaciones de simetría (·), y no es más que aplicar uno y después el otro, empezando por la operación que esté más a la derecha. Así pues, σh·C3 equivale a aplicar primero el giro de 120º, y después la reflexión dada por el plano horizontal, y ya hemos dicho que en general σh·C3≠C3σh. Una cuestión que puede conllevar confusiones a la hora de aplicar operaciones de simetría sucesivas a una determinada molécula es que los elementos son fijos, es decir no se mueven con la molécula. Si por ejemplo identificamos un plano de simetría determinado, y luego giramos la molécula por aplicación de un C3², no tenemos que girar el plano junto a la molécula, sino que éste conserva su posición inicial.

Dicho esto, para definir y caracterizar un grupo, nos basta con conocer su tabla de multiplicación. La tabla de multiplicación de un grupo de simetría es una tabla en la cual aparecen todos los operadores de simetría del grupo en cuestión, y todas las combinaciones de producto entre ellos, que a la vez da como resultado operadores del grupo, ya que debe ser “cerrado”. La siguiente tabla de multiplicación corresponde al grupo C3v, al cual pertenece el amoníaco (los tres planos corresponden a las reflexiones que contienen cada una a un hidrógeno diferente y al nitrógeno). La primera columna es el operador que se aplica en primer lugar, y la primera fila es el operador que se aplica en segundo lugar. Observamos que no se trata de un grupo abeliano, ya que de lo contrario la tabla sería idéntica en mabos lados de la diagonal, y no es así, debido a que C32·σAC y σA·C32B. Vemos también que el operador identidad, E, está presente, ya que es una de las propiedades que ha de cumplir cualquier grupo: contar con elemento neutro.

E C3 C32 σA σB σC
E E C3 C32 σA σB σC
C3 C3 C32 E σC σA σB
C32 C32 E C3 σB σC σA
σA σA σB σC E C3 C32
σB σB σC σA C32 E C3
σC σC σA σB C3 C32 E

Los grupos de simetría puntual son muy útiles porque nos permiten clasificar cualquier molécula en uno de ellos, y además es una clasificación relativamente simple, puesto que no hay muchos grupos de simetría puntual. Además, otra ventaja es que a la hora de clasificar una molécula en un grupo de simetría, no necesitamos saber todos los elementos de simetría que tiene. Hay algoritmos que sólo requieren unos pocos, como por ejemplo los siguientes, representados en forma de diagrama de flujo.

Para el primer diagrama (el de la izquierda), en el caso de las moléculas mencionadas en la anterior entrada (trifluoruro de boro y ciclopropano), deberíamos seguir el siguiente “camino”: no tiene un eje C, sí tiene un eje Cn (n=3), no tiene 6 C5 ni 3 C4 ni 4 C3, pero sí tiene 3 ejes C2 perpendiculares al C3, y además tiene un plano horizontal. Así pues, las moléculas pertenecen al grupo puntual de simetría D3h. En esta página web se pueden ver animaciones flash de los elementos de simetría del tricloruro de boro (en términos simétricos totalmente equivalente al trifluoruro de boro).

La clasificación resulta pues en grupos de simetría más simétricos que otros. Por ejemplo, los grupos de simetría no axiales (aquellos que resultan de constestar “no” a la pregunta “Cn?”), es decir Cs, Ci y C1, no son demasiado simétricos, y en consecuencia las moléculas que pertenezcan a estos grupos tampoco lo serán (un ejemplo de molécula que pertenece al grupo C1 es la atropina, ya que solo consta de la operación identidad, E). En cambio, los grupos cúbicos, Td y Oh (relacionados con una geometría tetraédrica y octaédrica, respectivamente), tienen una simetría alta, y moléculas como el metano o el hexafluoruro de uranio serían ejemplos de estos grupos. Un indicador de si un grupo es muy simétrico o no es el tamaño de su tabla de multiplicación, ya que cuanto más grande sea, más operaciones de simetría incluye y por lo tanto más simétrico es el grupo en cuestión.

No puedo terminar esta entrada sin mencionar las denominadas “clases de simetría”. Una clase es un subconjunto del grupo de simetría cuyos elementos se obtienen de la siguiente manera: dos operaciones a y b forman una clase si, dentro del grupo, existe otra operación c tal que a·c=c·b. Así pues, en el caso del amoníaco, cuya tabla de multiplicación hemos visto más arriba, a partir de 6 operaciones de simetría obtenemos 3 clases: una formada por el C3 y el C32, ya que C3·σaa·C3 (como vemos en la siguiente imagen);

otra formada solamente por E (por sí solo el elemento neutro siempre forma un clase); y otra formada por los tres planos σ (ya que σb·σaa·σc y σa·σbb·σc). Por lo tanto, vemos que las clases de simetría suponen una simplificación considerable a la hora de trabajar con grupos de simetría.

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