Simetría en química (I): operaciones y elementos de simetría

[Nota: en esta entrada (y posteriores) usaré la notación Schoenflies para la simetría de grupos puntuales por ser la más usada en química, en lugar de la notación Hermann-Mauguin, más usada en cristalografía].

[Nota 2: en física el término simetría puede usarse en un sentido distinto, asociado a la invarianza. Si por ejemplo alguna magnitud física no varía en el tiempo, decimos que es simétrica respecto al tiempo. En química nos limitamos a la simetría espacial, que podemos relacionar con geometrías moleculares].

La simetría es una propiedad que podemos asociar a diferentes entes geométricos. Se trata de someter al ente en cuestión a diferentes transformaciones (operaciones de simetría), y encontrar aquella o aquellas que dejan al ente inalterado respecto a su posición inicial. Con un ejemplo se verá mucho más claro: supongamos un triángulo equilátero contenido en el plano de la pantalla, pero situado en un espacio euclídeo tridimensional (como es el caso de nuestro universo). Téngase en cuenta ya desde ahora que un triángulo equilátero puede ser asociado, por ejemplo, a una molécula de ciclopropano, o a trifluoruro de boro, (ya que todos ellos pertenecen al mismo grupo de simetría, como veremos más adelante), de manera que todas las consideraciones que vamos a hacer acerca del triángulo equilátero son también válidas para estas moléculas.

Pues bien, ¿qué operaciones de simetría podemos aplicarle al triángulo con tal de que quede inalterado?

1) Para empezar, si identificamos un eje (como el que vemos en la siguiente imagen) que pasa por el centro del trinángulo y es perpendicular al plano del mismo,

y etiquetamos los vértices del triángulo equilátero (sin que esto afecte al hecho de que son indistinguibles), no cuesta mucho ver que podemos girarlo con tal fin 120, 240 y 360 grados alrededor del eje.

Vemos que sucesivas aplicaciones del giro de 120º son superfluas y equivalen a una de estas tres situaciones.

2) Podemos aplicar además otra operación de simetria que deja inalterado a nuestro triángulo: la reflexión. En este caso, tenemos que orientar un espejo plano con las dos caras reflejantes de manera que la imagen del espejo coincida con el otro lado real de la molécula (dicho de otra forma, los puntos a cada lado del espejo se deben intercambiar sin que esto altere la disposición del objeto). En nuestro caso, podemos situar un espejo que cumpla esta condición en el mismo plano del triángulo.

3) Podemos enontrar más operaciones de simetría para nuestro triángulo equilátero. Por ejemplo, es posible girar 180º y 360º alrededor de un eje que pase por un vértice y por el centro de la arista del lado opuesto; y esto para cada vértice.

Aplicado al eje que pasa por el vértice A, sería como sigue:

4) Además, podemos realizar tres reflexiones más que dejan a nuestro triángulo en una posición indistinguible. Serían aquellas definidas por los planos que son perpendiculares al plano del triángulo y contienen cada uno a uno de los tres ejes que acabamos de ver. Si viéramos al triángulo desde “arriba”, sólo veríamos el canto de los espejos, y sería algo así

Éstas son, pues, las operaciones de simetría asociadas al triángulo equilátero. Pero resulta que en algunas ocasiones es más práctico hablar de “elementos de simetría” en lugar de operaciones. Así pues, podemos asociar a cada operación de simetría un elemento de simetría. En nuestro ejemplo, en el primer caso hablamos de un eje C3 (obviamente el 3 proviene de las posibilidad de girar tres veces), y como este es el eje de más simetría de esta figura (es el eje que podemos girar más veces) será nuestra referencia o eje principal, y por convenio el eje principal se toma como vertical.

En el segundo caso hablaremos de un plano horizontal σh, debido a que está en una posición horizontal respecto a nuestro eje de referencia. En el tercer caso tenemos tres ejes C2 perpendiculares al eje C3, y en el último caso que hemos visto tenemos 3 planos verticales σv (verticales debido a que contienen al eje C3).

Además, hay otra operación de simetría que no hemos mencionado hasta ahora: la operación identidad (simbolizada como “E”). Corresponde a no hacer absolutamente nada. En un principio puede parecer absurdo, pero es necesaria para la consistencia matemática de toda la teoría, ya que todo esto se basa en la teoría de grupos (estudiada en cualquier curso básico de álgebra) y es más riguroso de lo que puede parecer en un principio.

En la siguiente entrada se tratará la teoría de grupos. Por ahora acabemos por ver el resto de elementos de simetría que nuestro ejemplo no nos ha permitido introducir junto a los que ya conocemos:

  • Eje de rotación Cn: eje al rededor del cual podemos girar (360/n)º en sentido horario. Cada eje Cn tiene n operaciones de simetría asociadas a m (m=1,2…n) giros indicados mediante un superíndice, de manera que en un eje C3 tenemos las operaciones C3¹, C3², C3³=E (obviamente Cnn=E). Un exponente negativo indica un giro en sentido contrario (antihorario), de manera que C3⁻¹=C3².
  • Planos horizontal σh, vertical σv, y diedro σd: la reflexión de cada punto en el plano resulta en una disposición indistinguible de la inicial. Decimos que es vertical si contiene al eje principal, y horizontal si es perpendicular al eje principal. El plano diedro también contiene al eje principal, pero bisecta el ángulo entre dos ejes C2 perpendiculares al eje principal o entre dos planos σv. En la siguiente imagen podemos ver dos planos σv y un σd.

  • Centro de inversión i: es un punto respecto al cual se invierten las coordenadas de cualquier punto del objeto en cuestión, de manera que (x,y,z) → (-x,-y,-z).

  • Eje de rotación impropio Sn: es una combinación de dos operaciones de simetría: una reflexión alrededor de un eje Cn y una reflexión por un plano perpendicular al eje en cuestión. En la imagen de abajo podemos ver su aplicación en una molécula de metano, que consta de tres S4. Hay que observar además que los elementos de simetría que generan el eje impropio Sn (es decir, el eje de rotación y el plano horizontal) no tienen por qué existir de manera independiente, tal y como se puede comprobar en la molécula de metano.

Es posible descomponer un eje Sn en otros elementos y operaciones de simetría. Por ejemplo, un S1 equivale a un σh y un S2 equivale a la operación inversión i. Para Sn con n>2 la cosa se complica un poco. Si n es par, a cada Sle corresponden n operaciones de simetría asociadas a m rotaciones de (360/n)º y reflexiones sucesivas, con m=1,2…n. Y si n es impar, a cada Sle corresponden 2n operaciones de simetría asociadas a m rotaciones de (360/n)º y reflexiones sucesivas, con m=1,2…2n.

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6 respuestas a Simetría en química (I): operaciones y elementos de simetría

  1. Joan dijo:

    Gracias por esta serie de entradas sobre simetría en química, nos han sido muy útiles para entender algunas de las aplicaciones reales de la teoría de grupos.

  2. Jeshua Naza dijo:

    Realmente agradezco mucho esta entrada, tambien a mi se me ha hecho bastante util esta informacion, para entender los elementos y las operaciones de simetria.

    • Me alegro! Es un tema más complejo de lo que puede parecer en un principio y ocupa una posición vital en la química…

      • Jeshua Naza dijo:

        lo se me a costado un poco este tema, veras yo estudio matematica y esto es una aplicacion de la teoria de grupos entonces me meti a investigar esto como un pequeño proyecto, he tenido algunas dificultades una de ellas es que me confunde una notacion que he encontrado en otros sitios por ejemplo a a veces denotan los planos como ?’_v (sigma prima sub v) o sino ?”_v (sigma biprima sub v) y pasa lo mismo con los ejes C’_n y C”_n y no lo logro entender que quieren decir podrias explicarme?

  3. Luis dijo:

    Hace ya muchos años estudiéTeoría de Grupos y Simetria dentro de la carrera de Ciencias Químicas (a inicios de los 80). Lo recordaba como una de las asignaturas más bonitas que estudié en la carrera y tu blog me ha hecho recordarlo y confirmarlo.
    Creo que sintetiza muy bien el contenido en muy poco espacio. Gracias

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