Entendiendo el principio de incertidumbre de Heisenberg (y II)

Se explicó en la anterior entrada el principio de incertidumbre de Heisenberg basándonos en la interpretación ondulatoria de la materia. En esta entrada derivaremos la relación de indeterminación, para más adelante demostrarla.

Derivación

Quisiera aclarar antes que nada que posiblemente hay más formas de derivar el principio de incertidumbre; la presentada aquí me ha gustado por su sencillez y por ser muy intuitiva.

Dicho esto, empecemos por considerar el postulado de Bohr de la cuantificación del momento angular de la órbita de un electrón. Bohr postuló que no todas las órbitas de un electrón alrededor del núcleo son permitidas. El momento angular L viene dado por

L = r m v

Donde r es el radio de la órbita respecto al núcleo, m es la masa del electrón y v su velocidad.

Y aquí entra de nuevo en juego la dualidad onda-partícula de de Broglie, ya que en todo momento la longitud de onda del electrón debe ajustarse a su órbita para evitar que interfiera con sigo mismo, tal y como podemos ver en la siguiente imagen.

Por lo tanto, la circunferencia de radio r que describe a la órbita debe ser igual a un número entero n de longitudes de onda λ:

2{\pi} r=n {\lambda}

por de Broglie  {\lambda}={\frac{h}{m v}}

y sustituyendo nos queda

2{\pi} r=n{\frac{h}{m v}}

Reordenando obtemos

r m v=n{\frac{h}{2{\pi}}}

Llegados a este punto, sabemos que

{\hbar}={\frac{h}{2{\pi}}}

p=m v   o, en forma de intervalo {\Delta p}=m {\Delta v}

Y si consideramos r como la distancia Δx y además tomamos n=1, todo junto nos da

{\Delta x}{\Delta p}= {\hbar }

Que es la expresión del principio de incertidumbre, a la cual hemos llegado en pocos pasos partiendo del postulado de Bohr, usando la dualidad onda-partícula de de Broglie y efectuando algunas operaciones básicas.

Demostración

La demostración del principio de incertidumbre no es tan trivial, ya que hace falta saber un poco de álgebra de operadores. Aquí no entraremos en detalle, y se demostrará de la forma más “austera” posible.

Uno de los postulados de la mecánica cuántica es que toda magnitud física observable de un sistema cuántico corresponde matemáticamente a un operador, del cual medimos su valor propio al realizar el experimento. Un valor propio es un valor que podemos obtener al aplicar un operador a una función.

Un operador es un ente matemático que transforma una función en otra. Un ejemplo de operador de uso común sería el operador derivada {\frac{d}{dx}} , aunque la mayoría de veces lo apliquemos sin enternderlo como tal.

Consideremos, por ejemplo, el operador {\hat{A}} aplicado a la función f. El operador puede cambiar a la función

{\hat{A}} f=g        f{\neq}g

O puede dar como resultado la misma función multiplicada por un escalar a

{\hat{A}}f=af

En cuyo caso decimos que f es función propia del operador {\hat{A}} y que a es el valor propio de esta función.

De hecho, cuando resolvemos la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo, lo que hacemos es aplicar el operador Hamiltoniano {\hat{H}} (que engloba a la energía cinética y potencial del sistema) a la función de onda Ψ, de manera que obtenemos la misma función de onda multiplicada por el valor propio, que es la energía del sistema: {\hat{H}}{\psi}=E{\psi}

Pero eso sería objeto de otra entrada. Continuando con el principio de incertidumbre, nos hace falta para demostrarlo una cosa más: el conmuntador de dos operadores. Para los operadores {\hat{A}}{\hat{B}} se representaría de la siguiente forma:

[{\hat{A}},{\hat{B}}]

el cunmutador de dos operadores es a la vez otro operador, y se calcula como sigue:

[{\hat{A}},{\hat{B}}]={\hat{A}}{\hat{B}}-{\hat{B}}{\hat{A}}

Si [{\hat{A}},{\hat{B}}] da como resultado otro operador,  {\hat{A}}  y  {\hat{B}}  no conmutan ya que {\hat{A}}{\hat{B}}{\neq}{\hat{B}}{\hat{A}}

En cambio, si  [{\hat{A}},{\hat{B}}]={\hat{0}} , entonces   {\hat{A}}  y   {\hat{B}}  sí que conmutan debido a que {\hat{A}}{\hat{B}}={\hat{B}}{\hat{A}}

Veamos un ejemplo: consideremos los operadores posición x y derivada {\frac{d}{dx}}. Apliquemos su conmutador a una función f(x):

[x,{\frac{d}{dx}}]f(x)=x{\frac{d}{dx}}f(x)-{\frac{d}{dx}}xf(x)=xf'(x)-(1f(x)+f'(x)x)=xf'(x)-1f(x)-xf'(x)=-1f(x)=-f(x)

Como vemos, los operadores  posición y derivada no conmutan, ya que obtenemos -1 como resultado.

Tal y como se ha dicho antes, según uno de los postulados de la mecánica cuántica, cuando realizamos una medición a un sistema cuántico, lo que medimos es un valor propio. Si ahora generalizamos la expresión del principio de incertidumbre como sigue

{\Delta}a{\Delta}b{\geq}{\frac{1}{2}}{\lvert}{\langle}[{\hat{A}},{\hat{B}}]{\rangle}{\rvert}     donde Δa y Δb son las desviaciones de las magnitudes asociadas a                                            los operadores A y B,

Vemos que para poder conocer exactamente la posición y el momento lineal (es decir, Δa y Δb), los operadores A y B deberían conmutar. Pero esto no sucede, ya que antes hemos visto que el operador posición y derivada no cunmutan, y debido a que éste último interviene en el operador momento lineal ({p_x}=-i{\hbar}{\frac{\partial}{{\partial}x}}), tampoco conmutan posición y momento lineal. Por lo tanto, debido a esto, no podemos conocer simultáneamente y con exactitud arbitraria la posición y el momento de una partícula.

Esta entrada fue publicada en Física, Química cuántica. Guarda el enlace permanente.

2 respuestas a Entendiendo el principio de incertidumbre de Heisenberg (y II)

  1. John Medina dijo:

    Excelente, esta explicado de una manera simple para iniciar en un mundo tan complejo. Gracias

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