Entendiendo el principio de incertidumbre de Heisenberg (I)

En ciencias, sobre todo en física moderna, a veces nos encontramos con ciertos teoremas o principios que no podemos entender en el sentido que entendemos la física clásica; esto es, en términos del mundo macroscópico que nos rodea.

Entre estos principios, uno de los que más destaca es el principio de incertidumbre de Heisenberg o relación de indeterminación de Heisenberg. Una reacción muy común del estudiante expuesto por primera vez al principio de incertidumbre (me incluyo yo también) es la de incredulidad o incluso negación.

Según la Wikipedia, el principio de incertidumbre afirma que “no se puede determinar, en términos de la física clásica, simultáneamente y con precisión arbitraria, ciertos pares de variables físicas, como son, por ejemplo, la posición y el momento lineal de un objeto dado. Matemáticamente, esto vendría dado por la siguiente inecuación:

{\Delta x} {\Delta p} {\geq} {\hbar}

Donde {\hbar} = {\frac{h}{2 \pi}}

y  {h}  es la constante de Planck

[Nota: en la mayoría de libros y páginas web el producto ΔpΔx es igual a {\frac{\hbar}{2}} en lugar de {\hbar} , esto es debido a definiciones más concretas y estrictas, en las cuales no entraremos]

Vemos que en términos matemáticos la fórmula es bastante simple. Si queremos simplificarla aún más, podemos sustituir el signo de la desigualdad por el de una igualdad

{\Delta x} {\Delta p} = {\hbar}

Entonces, la ecuación pasaría a describir aquel caso particular (e ideal) en el que medimos con precisión máxima el momento y la posición. La ecuación nos dice que al medir la posición en una dirección arbitraria x siempre habrá una incertidumbre Δx, y que si simultáneamente medimos el momento lineal o cantidad de movimiento de la componente x también habrá una incertidumbre Δp; y todo ello cumpliendo la regla que nos dice la ecuación: que el producto de Δx y Δp ha de ser igual (o superior) a  {\hbar} .

En la definición de la Wikipedia se habla de “ciertos pares de variables físicas”. Otro par de variables en el que es posible expresar el principio de incertidumbre es energía ΔE i tiempo Δt.

En todo caso, para comprender el principio de incertidumbre es mucho mejor hacerlo entendiendo la partícula como onda en lugar de como corpúsculo. Esto es posible gracias a la dualidad onda-partícula de de Broglie, que dice que a nivel elemental, la materia exhibe un comportamiento tanto de onda como de partícula. Esto viene dado por la ecuación

{\lambda}={\frac {h}{p}}={\frac{h}{m v}}

donde {h}  es la constante de Planck y λ es la longitud de onda asociada a aquella partícula.

Pues bien, centrémonos por ejemplo en un  electrón. Según la dualidad onda-partícula de de Broglie, podemos comprender al electrón como onda o como partícula. Si lo hacemos como onda, usaremos las herramientas de las ondas para analizarlo.

Lo primero a tener en cuenta es que a diferencia de una masa o carga puntual, una onda no ocupa un solo punto del espacio, sino que se extiende más o menos a lo largo de éste. Su momento lineal viene dado por la anterior fórmula

{p}={\frac{h}{\lambda}}

Como vemos, el momento lineal es inversamente proporcional a la longitud de onda. Teniendo en cuenta esta fórmula además de la fórmula del principio de incertidumbre, vemos que para tener una longitud de onda exacta, y por lo tanto un momento lineal totalmente definido, la onda tiene que ser infinita en ambos extremos, con lo cual su posición es infinitamente indeterminada. Así pues,  Δp=0  <=>  Δx=∞.

                        Ondas periódicas deslocalizadas con longitud de onda definida

Por otro lado, observamos que la posición será más definida cuanto más corta sea la onda, pero eso implica que tenemos que “cortar” la onda por los extremos, y cuando lo hacemos, “distorsionamos” la longitud de onda, de manera que perdemos precisión en el momento lineal. La onda resultante puede ser entendida como una superposición de varias ondas periódicas infinitas.

Onda resultante localizada sin longitud de onda definida

Por lo tanto, vemos que una disminución en la incertidumbre de la posición implica un aumento en la incertidumbre del momento, y viceversa. Cuantitativamente, esta relación viene dada por la fórmula del principio de incertidumbre, que hemos visto antes.

Para acabar, y antes de la próxima entrada (en la que derivaremos y demostraremos mediante operadores el principio de incertidumbre), me gustaría citar este fragmento de las célebres Feynman Lectures on Physics:

«A veces la gente dice que la mecánica cuántica está toda mal. Cuando la partícula llega desde la izquierda, su momento vertical es cero. Y ahora que ha atravesado la rendija, su posición es conocida. Es cierto que podemos recibir una partícula, y en su llegada determinar su posición y el momento que debería haber tenido para llegar hasta ahí. Esto es verdad. Pero no es a lo que la relación de incerteza hace referencia. La ecuación se refiere a la predictabilidad de una situación, no consideraciones acerca del pasado. No está bien decir “sé cual era el momento antes de que pasara a través de la rendija, y ahora conozco su posición”, ya que ahora nuestro conocimiento del momento se ha perdido. El hecho de pasar a través de la rendija ya no nos permite predecir el momento vertical. Estamos hablando de una teoría predictiva, no de medidas después de que haya ocurrido. Así que tenemos que hablar de lo que podemos predecir.»

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